Triangle

Nous évoquons dans cet article le cas du triangle dans le plan euclidien.

Définition

Le triangle, figure géométrique définie dans le plan par 3 points distincts reliés par des segments de droite. C'est le plus petit des polygones.

Notations usuelles dans ce wiki

Les sommets

Les trois sommets du triangles sont les trois points $A$, $B$, $C$.

Les côtés

Les côtés sont généralement nommés avec la lettre minuscule correspondant à la lettre majuscule désignant le sommet qui lui est opposé, donc, respectivement $a$, $b$, $c$.

Les hauteurs

Très souvent les exposés ne nécessitent qu'une seule hauteur, nommée $h$. Autrement nous pouvons nommer les hauteurs $h_i$ avec la valeur de l'indice $i$ correspondant à $1$ pour $A$, $2$ pour $B$ et $3$ pour $C$.

Les angles

Pour ce qui est des angles, nous pouvons adopter deux méthode. La première en nommant les angles directement avec la lettre nommant le sommet ($\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$), ou bien en nommant les angles $\alpha$ pour le sommet $A$, $\beta$ pour le sommet $B$ et $\gamma$ pour le sommet $C$.

Caractéristiques

Caractéristiques du triangle

Longueur des côtés	$a$, $b$, $c$
Hauteur	$h_1$, $h_2$, $h_3$
Périmètre	$P=a+b+c$
Surface	$S={\frac {ah_{1}}{2}}={\frac {bh_{2}}{2}}={\frac {ch_{3}}{2}}$ $S={\frac {bc}{2}}\sin(\alpha )={\frac {ab}{2}}\sin(\gamma )={\frac {ac}{2}}\sin(\beta )$
Angles aux sommets	$\alpha$, $\beta$, $\gamma$
Rayon du cercle circonscrit	$R={\frac {a}{2\sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\sin(\beta )}}={\frac {c}{2\sin(\gamma )}}$
Rayon du cercle inscrit	$r=\frac{2S}{a+b+c}$
Relation entre $R$ et $r$	${\frac {R}{r}}={\frac {a(a+b+c)}{4S\sin(\alpha )}}={\frac {b(a+b+c)}{4S\sin(\beta )}}={\frac {c(a+b+c)}{4S\sin(\gamma )}}$