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Triangle Triangle


Nous évoquons dans cet article le cas du triangle dans le plan euclidien.

Définition Modifier

Le triangle, figure géométrique définie dans le plan par 3 points distincts reliés par des segments de droite. C'est le plus petit des polygones.

Notations usuelles dans ce wiki Modifier

Les sommets Modifier

Les trois sommets du triangles sont les trois points $ A $, $ B $, $ C $.

Les côtés Modifier

Les côtés sont généralement nommés avec la lettre minuscule correspondant à la lettre majuscule désignant le sommet qui lui est opposé, donc, respectivement $ a $, $ b $, $ c $.

Les hauteursModifier

Très souvent les exposés ne nécessitent qu'une seule hauteur, nommée $ h $. Autrement nous pouvons nommer les hauteurs $ h_i $ avec la valeur de l'indice $ i $ correspondant à $ 1 $ pour $ A $, $ 2 $ pour $ B $ et $ 3 $ pour $ C $.

Les angles Modifier

Pour ce qui est des angles, nous pouvons adopter deux méthode. La première en nommant les angles directement avec la lettre nommant le sommet ($ \hat{A} $, $ \hat{B} $, $ \hat{C} $), ou bien en nommant les angles $ \alpha $ pour le sommet $ A $, $ \beta $ pour le sommet $ B $ et $ \gamma $ pour le sommet $ C $.

Caractéristiques Modifier

Caractéristiques du triangle
Longueur des côtés $ a $, $ b $, $ c $
Hauteur $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $
Périmètre $ P=a+b+c $
Surface

$ S=\frac{ah_1}{2}=\frac{bh_2}{2}=\frac{ch_3}{2} $ $ S=\frac{bc}{2}\sin(\alpha)=\frac{ab}{2}\sin(\gamma)=\frac{ac}{2}\sin(\beta) $

Angles aux sommets $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $
Rayon du cercle circonscrit $ R=\frac{a}{2\sin(\alpha)}=\frac{b}{2\sin(\beta)}=\frac{c}{2\sin(\gamma)} $
Rayon du cercle inscrit $ r=\frac{2S}{a+b+c} $
Relation entre $ R $ et $ r $ $ \frac{R}{r}=\frac{a(a+b+c)}{4S\sin(\alpha)}=\frac{b(a+b+c)}{4S\sin(\beta)}=\frac{c(a+b+c)}{4S\sin(\gamma)} $