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Détermination de la surface d'un triangleModifier

Cette page traite de la surface $ S $ d'un triangle quelconque. Nous avons bien sûr plusieurs expressions donnant la surface d'un triangle en fonction de la longueur de ses côtés, de ses angles au sommets et de la valeur de ses hauteurs.

En voici $ 3 $ avec les démonstrations qui vont bien.

Avec l'utilisation des hauteursModifier

Soit le triangle $ ABC $, tel que défini sur la figure ci contre et selon les notations définies dans l'article du triangle. Par définition des hauteurs, si nous notons $ H_1 $ le point d'intersection de $ h_1 $ avec $ BC $, $ S_1 $ la surface du triangle rectangle $ ABH_1 $ et $ S_2 $ la surface du triangle rectangle $ ABH_2 $ nous avons les relations suivantes :

$ S=S_1+S_2 \Rightarrow S=\frac{h_1 BH}{2}+\frac{h_1 CH}{2} \Rightarrow S=\frac{h_1 a}{2} $.

Par symétrie, nous écrivons donc :

$ S=\frac{h_1 a}{2}=S=\frac{h_2 b}{2}=S=\frac{h_3 c}{2} $

Avec l'utilisation des la loi des sinusModifier