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Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit.

DémonstrationModifier

Soient les médiatrices $ M_1, M_2, M_3 $ du triangle $ ABC $. $ M_1, M_2, M_3 $ étant respectivement les médiatrices de $ AB, BC et AB $. Par définition, nous avons:

$ AB \perp M_1 $
Médiatrices et cercle circonscrit.ggb


$ BC \perp M_2 $

$ AC \perp M_3 $

Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire:

$ AO^2=AD^2+DO^2 $

$ BO^2=BD^2+DO^2 $

Par construction:

$ AD=DB \Rightarrow AO=BO $

Par symétrie on a:

$ CO=AO $

$ O $ est donc le centre d'un cercle $ C_i $ passant par les points $ A, B et C $. Ce cercle est donc circonscrit au triangle.