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Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit.

DémonstrationModifier

Soient les médiatrices  M_1, M_2, M_3 du triangle ABC.  M_1, M_2, M_3 étant respectivement les médiatrices de AB, BC et AB. Par définition, nous avons:

 AB \perp M_1
Médiatrices et cercle circonscrit.ggb.png


 BC \perp M_2

 AC \perp M_3

Le théorème de Pythagore nous permet d'écrire:

AO^2=AD^2+DO^2

BO^2=BD^2+DO^2

Par construction:

AD=DB \Rightarrow AO=BO

Par symétrie on a:

CO=AO

O est donc le centre d'un cercle C_i passant par les points A, B et C. Ce cercle est donc circonscrit au triangle.

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