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La loi des sinus donne une relation entre les angles d'un triangle et la longueur de ses côtés. Elle est utilisée entre autre pour déterminer la relation définissant le rayon du cercle circonscrit au triangle en fonction de la longueur de ses côtés, ainsi que la relation donnant la surface du triangle.

LoiSinus
Loi des sinus
\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}


DémonstrationModifier

La démonstration utilise les hauteurs. La hauteur issue d'un sommet permet de définir une relation entre l'angle de chacun des deux autres côtés et la longueur du côté défini entre le sommet duquel est issue la hauteur et le sommet dont on considère l'angle.

Soit le triangle du plan défini par les trois point A B C, et soient a b c la longueur des côtés opposés respectivement aux sommets A B C. Soit h la hauteur du triangle issue de A. Nous verrons que par substitution, il n'est pas nécessaire de faire l'exercice avec les deux autres hauteurs.

On a par définition :


\begin{cases}
sin(\beta)=\frac{h}{c} \\
sin(\gamma)=\frac{h}{b}.
\end{cases}
\Rightarrow h=bsin(\gamma)=csin(\beta)


\Rightarrow \frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}

Par substitution, nous obtenons bien la loi des sinus

Loi des sinus
\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}

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