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DéfinitionModifier

Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux trois côtés de ce triange. Son centre n'est autre que le point de concourances des bissectrices du triangle. Essayons de démontrer cela.

DémonstrationsModifier

Centre du cercle inscrit = point de concourance des bissectricesModifier

Nous admettons que les 3 bissectrices sont concourantes (démonstration à venir). Soit donc le triangle ABC, et B_1 \mbox{, } B_2 \mbox{ et } B_3 les bissectrices respectivement en A \mbox{, } B \mbox { et }C. Soit O leur point d'intersection. Soient les points D \mbox{, } E \mbox{ et } F les projections orthogonales de O respectivement sur AB \mbox{, } BC \mbox{ et } AC. Soit \alpha l'angle \widehat{BAC}


Les bissectrices et le cercle inscrit

Nous avons donc

\widehat {DAO}=\widehat{OAF}=\frac{\alpha}{2}.


Par construction, nous avons donc

\frac{OD}{AO}=\frac{OF}{AO}\rightarrow OD=OF.

Par substitution, nous avons donc

OD=OE=OF.

Comme


\left\{
\begin{array}{l}
OD \perp AB\\
OF \perp AC\\
OE \perp BC		
\end{array}
\right.

alors, le cercle de centre O et de rayon r=OD est tangent à chaque côté du triangle et donc inscrit à ce même triangle.

Expression du rayon du cercle inscritModifier

Soit r le rayon du cercle inscrit. On a :

r=OD=OE=OF

Nous avons également les égalités suivantes :

\left\{
\begin{array}{l}
AE+EC=b\\
AF+FB=c\\
BD+DC=a		
\end{array}
\right.

qui permettent de déduire :

\left\{
\begin{array}{l}
EC=\frac{a+b-c}{2}\\
AE=\frac{-a+b+c}{2}\\
FB=\frac{a-b+c}{2}		
\end{array}
\right.

On peut exprimer la surface du triangle (S) de la manière suivante :

S=r EC+r BF+rAE

S=r(\frac{a+b-c}{2}+\frac{-a+b+c}{2}+\frac{a-b+c}{2})
S=r(\frac{a+b+c}{2})
D'où l'expression suivante :

Rayon du cercle inscrit
r=\frac{2S}{a+b+c}

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