Cercle inscrit

Définition

Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux trois côtés de ce triange. Son centre n'est autre que le point de concourances des bissectrices du triangle. Essayons de démontrer cela.

Démonstrations

Centre du cercle inscrit = point de concourance des bissectrices

Nous admettons que les $3$ bissectrices sont concourantes (démonstration à venir). Soit donc le triangle $ABC$, et $B_1 \mbox{, } B_2 \mbox{ et } B_3$ les bissectrices respectivement en $A \mbox{, } B \mbox { et }C$. Soit $O$ leur point d'intersection. Soient les points $D \mbox{, } E \mbox{ et } F$ les projections orthogonales de $O$ respectivement sur $AB \mbox{, } BC \mbox{ et } AC$. Soit $\alpha$ l'angle $\widehat{BAC}$

Nous avons donc

$\widehat {DAO}=\widehat{OAF}=\frac{\alpha}{2}$.

Par construction, nous avons donc

$\frac{OD}{AO}=\frac{OF}{AO}\rightarrow OD=OF$.

Par substitution, nous avons donc

$OD=OE=OF$.

Comme

$\left\{ \begin{array}{l} OD \perp AB\\ OF \perp AC\\ OE \perp BC \end{array} \right.$

alors, le cercle de centre $O$ et de rayon $r=OD$ est tangent à chaque côté du triangle et donc inscrit à ce même triangle.

Expression du rayon du cercle inscrit

Soit $r$ le rayon du cercle inscrit. On a :

$r=OD=OE=OF$

Nous avons également les égalités suivantes :

$\left\{ \begin{array}{l} AE+EC=b\\ AF+FB=c\\ BD+DC=a \end{array} \right.$

qui permettent de déduire :

$\left\{ \begin{array}{l} EC=\frac{a+b-c}{2}\\ AE=\frac{-a+b+c}{2}\\ FB=\frac{a-b+c}{2} \end{array} \right.$

On peut exprimer la surface du triangle ($S$) de la manière suivante :

$S=r EC+r BF+rAE$

$S=r(\frac{a+b-c}{2}+\frac{-a+b+c}{2}+\frac{a-b+c}{2})$
$S=r(\frac{a+b+c}{2})$
D'où l'expression suivante :

Rayon du cercle inscrit

$r=\frac{2S}{a+b+c}$