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DéfinitionModifier

Cévienne : toute droite passant par les sommets du triangle. Les bissectrices, les hauteurs, les médianes, sont des céviennes particulières du triangle qui se coupent en un seul point.

HistoriqueModifier

Le terme cévienne vient du nom du mathématicien italien Giovanni Ceva. Il a, en 1678, dans son ouvrage De Lineis Rectis, démontré un théorème relatif au concours des céviennes d'un triangle.

Théorème de CevaModifier

EnoncéModifier

Soit $ ABC $ un triangle, et $ A'\mbox{, } B'\mbox{, } C' $ les points d'intersection des céviennes passant respectivement par $ A\mbox{, }B \mbox{ et } C $ avec les droites $ BC\mbox{, } AC \mbox{ et } AB $. Alors on a le théorème suivant :


Théorème de Ceva

Si les céviennes d'un triangle $ ABC $ sont concourantes, alors

$ \frac{BA'}{A'C}\frac{CB'}{B'A}\frac{AC'}{C'B} = 1 $


Triangle Cévienne1
Triangle Cévienne2









DémonstrationModifier

Le point de concourance est à l'intérieur du triangleModifier

C'est une démonstration qui passe par des manipulations sur des surfaces. Soit le triangle $ ABC $, et $ AA'\mbox{, } BB' \mbox{ et } CC' $ trois céviennes concourantes. Soient $ h_1 \mbox{, }h_2 \mbox{ et } h_3 $ les hauteurs du triangle issuent respectivement de $ A\mbox{, }B\mbox{ et } C $. La surface du triangle est donnée par l'expression

$ S(ABC)=\frac{h BC}{2} $

Nous avons également les expressions suivantes :

$ S(ABA')=\frac{h BA'}{2} $
$ S(AA'C)=\frac{h A'C}{2} $
$ \Rightarrow \frac{BA'}{A'C}=\frac{S(ABA')}{S(AA'C)} (*) $

Par substitution nous avons donc les 3 égalités suivantes :

$ \begin{cases} \frac{BA'}{A'C}=\frac{S(ABA')}{S(AA'C)} \\ \frac{CB'}{B'A}=\frac{S(BCB')}{S(BB'A)} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{S(CAC')}{S(CC'B)}. \end{cases} $

Soit $ O $ le point de concours des céviennes, alors on peut écrire :

$ \begin{cases} \frac{BA'}{A'C}=\frac{S(ABA')}{S(AA'C)}=\frac{S(OAC')+S(OC'B)+S(OBA')}{S(OA'C)+S(OCB')+S(OB'A)} \\ \frac{CB'}{B'A}=\frac{S(BCB')}{S(BB'A)}=\frac{S(OBA')+S(OA'C)+S(OCB')}{S(OB'A)+S(OAC')+S(OC'B)} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{S(CAC')}{S(CC'B)}=\frac{S(OB'C)+S(OB'A)+S(OAC')}{S(OA'C)+S(OBA')+S(OBC')}. \end{cases} $

Similairement à ce que nous indique l'expression $ (*) $, on peut écrire que :

$ \begin{cases} \frac{BA'}{A'C}=\frac{S(OBA')}{S(OA'C)} \\ \frac{CB'}{B'A}=\frac{S(OCB')}{S(OB'A)} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{S(OAC')}{S(OC'B)}. \end{cases} $

Afin de simplifier le développement du calcul, notons :
Triangle Triangle

$ \begin{cases} S(AOB')=a \\ S(COB')=b \\ S(COA')=c \\ S(BOA')=d \\ S(BOC')=e \\ S(AOC')=f. \end{cases} $

On peut alors noter les égalités suivantes :

(**)$ \begin{cases} \frac{BA'}{A'C}=\frac{d}{c}=\frac{d+e+f}{a+b+c} \\ \frac{CB'}{B'A}=\frac{b}{a}=\frac{b+c+d}{a+e+f} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{f}{e}=\frac{a+b+f}{c+d+e} . \end{cases} $

Du système précédent on déduit en développant chacune des équations:

$ \begin{cases} ad+bd+cd=cd+ce+cf \Rightarrow c(e+f)=d(a+b) \Rightarrow \frac{d}{c}=\frac{e+f}{a+b} \\ ab+be+bf=ab+ac+ad \Rightarrow b(e+f)=a(c+d) \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c+d}{e+f} \\ cf+df+ef=ae+be+ef \Rightarrow f(c+d)=e(a+b) \Rightarrow \frac{f}{e}=\frac{a+b}{c+d} . \end{cases} $

Et c'est là que cela devient intéressant, on remarque que :

$ \frac{d}{c}\frac{b}{a}\frac{f}{e}=\frac{e+f}{a+b} \frac{c+d}{e+f}\frac{a+b}{c+d}=1. $

Donc, en revenant aux expressions (**), on a bien :

$ \frac{BA'}{A'C}\frac{CB'}{B'A}\frac{AC'}{C'B}=1 $

Le point de concourance est à l'extérieur du triangleModifier

A compléter

Le point de concourance est à l'infini : les céviennes sont parallèlesModifier

A compléter

La réciproqueModifier

A compléter

Caractéristiques de céviennesModifier

Autres caractéristiques que celles liées au théorème de Ceva à développer